06_Numpy

02_선형대수 기본

chuu_travel 2025. 3. 10. 18:01

728x90

import numpy as np

스칼라와 벡터

벡터와 행렬은 특정 텐서(tensor)를 부르는 이름
텐서의 이름을 부여하는 원칙은 차원인 축(axis)을 기준으로 지정
- 텐서가 0차원인 경우(축이 없는 경우) : 스칼라(scalar)
- 1차원인 하나의 축을 가진 경우: 벡터(vector)
- 2차원인 2개의 축을 가진 경우: 행렬(matrix)
- 3차원인 3개의 축을 가진 경우: 큐브(cube) 또는 3차원 텐서
- 더 차원이 높은 경우는 차원을 기준으로 n차원 텐서 라고 부름

스칼라

0차원 배열
크기를 표현
가장 기본적인 값
수학에서 배운 정수나 실수는 하나의 물리량인 크기를 표현하는데, 이 값을 스칼라 라고 함

scalar_arr = np.array(43)

# array에서 스칼라는 대괄호 없이 숫자만 표시
# 대괄호는 벡터(1차원 배열) 부터 사용
scalar_arr

array(43)

type(scalar_arr)

numpy.ndarray

# 스칼라는 0차원
scalar_arr.ndim

# 축이 없기 때문에 빈 튜플
scalar_arr.shape

()

# array로 스칼라를 만들어도 dtype을 가짐
scalar_arr.dtype

dtype('int32')

벡터

1차원 배열

vector = np.array([43])

vector

array([43])

type(vector)

numpy.ndarray

# 차원수
vector.ndim

# 데이터 개수
vector.shape

(1,)

배열 생성 함수

zeros

크기가 정해져 있고 모든 값이 0인 배열 생성
인수로는 배열의 크기를 전달

# 1차원 배열
zero_arr = np.zeros(5)
zero_arr

array([0., 0., 0., 0., 0.])

# 2차원 배열
zero_arr2 = np.zeros((2, 3))
zero_arr2

array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])

dtype 인수를 명시하면 해당 자료형 원소 배열을 생성

zero_arr3 = np.zeros((5, 2), dtype = int)
zero_arr3

array([[0, 0],
       [0, 0],
       [0, 0],
       [0, 0],
       [0, 0]])

ones

모든 값이 1인 배열 생성

one_arr = np.ones((2, 3, 4), dtype = int)
one_arr

array([[[1, 1, 1, 1],
        [1, 1, 1, 1],
        [1, 1, 1, 1]],

       [[1, 1, 1, 1],
        [1, 1, 1, 1],
        [1, 1, 1, 1]]])

zeros_like, ones_like

다른 배열과 같은 크기의 배열을 생성

zero_arr4 = np.zeros_like(one_arr)
zero_arr4

array([[[0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0]],

       [[0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0]]])

one_arr2 = np.ones_like(zero_arr3)
one_arr2

array([[1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1]])

np.ones_like(zero_arr2)

array([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])

arange

파이썬의 range와 유사한 함수
range와 같이 시작점, 종료점, 증감값을 인자로 전달
- 종료점은 필수

vector = np.arange(10)
vector

array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

vector.dtype

dtype('int32')

인자로 실수를 지정할 수 있음

range(10.5, 20.5, 0.5)

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
Cell In[71], line 1
----> 1 range(10.5, 20.5, 0.5)

TypeError: 'float' object cannot be interpreted as an integer

vector1 = np.arange(10.5, 20.5, 0.5)
vector1

array([10.5, 11. , 11.5, 12. , 12.5, 13. , 13.5, 14. , 14.5, 15. , 15.5,
       16. , 16.5, 17. , 17.5, 18. , 18.5, 19. , 19.5, 20. ])

vector1.dtype

dtype('float64')

# 1차원 배열을 생성하면서 바로 2차원 배열로 형상 변경
vector2 = np.arange(60).reshape(6, 10)
vector2

array([[ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9],
       [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19],
       [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29],
       [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39],
       [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49],
       [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59]])

vector2.shape

(6, 10)

vector3 = np.arange(60).reshape(3, 4, 5)
vector3

array([[[ 0,  1,  2,  3,  4],
        [ 5,  6,  7,  8,  9],
        [10, 11, 12, 13, 14],
        [15, 16, 17, 18, 19]],

       [[20, 21, 22, 23, 24],
        [25, 26, 27, 28, 29],
        [30, 31, 32, 33, 34],
        [35, 36, 37, 38, 39]],

       [[40, 41, 42, 43, 44],
        [45, 46, 47, 48, 49],
        [50, 51, 52, 53, 54],
        [55, 56, 57, 58, 59]]])

linspace

arange와의 차이점
- 종료점도 포함해서 원소를 생성
- 세 번째 인자로 간격 대신 원소의 개수를 전달
  - 초기값은 50
- 기본으로 실수를 가진 원소를 만듦

lin = np.linspace(1, 10, 10)
lin

array([ 1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10.])

lin.dtype

dtype('float64')

# 값의 간격을 표시하는 증분(incremental)을 확인할 수 있음
lin2 = np.linspace(1, 2, 10, retstep = True)
lin2

(array([1.        , 1.11111111, 1.22222222, 1.33333333, 1.44444444,
        1.55555556, 1.66666667, 1.77777778, 1.88888889, 2.        ]),
 0.1111111111111111)

# 종료값을 제외할 수도 있음
lin3 = np.linspace(1, 10, 10, endpoint = False, retstep = True)
lin3

(array([1. , 1.9, 2.8, 3.7, 4.6, 5.5, 6.4, 7.3, 8.2, 9.1]), 0.9)

벡터의 크기 및 단위 벡터 구하기

선형대수의 벡터는 크기와 방향성을 가짐
벡터의 크기는 노름(norm)이라고 부름
벡터는 평면 좌표의 점을 표시하듯이 2개의 원소를 가진 것을 대표적으로 사용
- 벡터의 크기는 피타고라스의 정리를 사용

벡터의 크기 계산

# 두 개의 원소를 가지는 1차원 배열 생성
v = np.array([3, 4])
v

array([3, 4])

# 벡터의 크기를 구하기 위해 각 원소를 제곱하여 합산한 후 제곱근 계산
v_p = np.power(v, 2)
v_p

array([ 9, 16], dtype=int32)

v_r = np.sqrt(np.sum(v_p))
v_r

5.0

# 피타고라스 정리를 구하는 hypot 함수를 사용할 수도 있음
np.hypot(v[0], v[1])

5.0

# 더 많은 원소를 가진 벡터를 가지고 크기를 구할 때는 np.linalg.norm 함수를 사용하면 간단함
np.linalg.norm(v)

5.0

단위 벡터(unit vector)

벡터의 크기가 항상 1인 경우를 단위 벡터라고 함
표준 단위벡터(standard unit vector)는 원소 중에 하나가 1이고 나머지 원소가 0인 경우

# 표준 단위벡터의 예시
e1 = np.array([1, 0, 0])
print(np.linalg.norm(e1))

1.0

e2 = np.array([0, 1, 0])
print(np.linalg.norm(e2))

1.0

일반적인 단위 벡터를 구할 때는 벡터의 크기를 구하고 각 원소를 벡터의 크기로 나누어서 구함

# 1차원 배열을 생성하고 이 배열의 크기를 계산
v_3 = np.array([1, 2, 3])
v_3

array([1, 2, 3])

v_3_n = np.linalg.norm(v_3)
v_3_n

3.7416573867739413

# 해당 벡터를 벡터의 크기로 나눈 후에 norm을 계산하면 1이 나옴
# 벡터의 크기가 1인 경우를 단위 벡터라고 함
v_3_u = v_3 / v_3_n
v_3_u

array([0.26726124, 0.53452248, 0.80178373])

np.linalg.norm(v_3_u)

1.0

벡터 상등과 벡터간 거리

벡터의 상등(equality) : 벡터의 크기와 방향이 같은 경우
- 크기는 같지만 방향이 다른 경우는 상등이 아님

# 두 벡터가 동일한 경우
a = np.array([3, 4])
b = np.array([3, 4])

# np.array_equal() : 두 배열이 동일한지 확인하는 함수
np.array_equal(a, b)

True

# 동일한 두 개의 배열의 크기를 구하여 크기가 동일한지 비교
a_1 = np.linalg.norm(a)
b_1 = np.linalg.norm(b)

a_1 == b_1

True

b_2 = np.linalg.norm(-b)
b_2

5.0

a_1

5.0

# 방향은 반대지만 크기는 같음
a_1 == b_2

True

# 하지만 방향이 반대이기 때문에 동일한 벡터는 아님
np.array_equal(a, -b)

False

두 벡터의 거리는 두 벡터 간의 차를 계산한 후에 제곱을 합산한 후 제곱근 계산

# 두 개의 벡터 생성
c = np.arange(10, 13)
d = np.arange(0, 3)

c

array([10, 11, 12])

d

array([0, 1, 2])

np.sqrt(np.sum(np.square(c - d)))

17.320508075688775

# norm 함수에 두 벡터의 차를 인자로 전달하는 방법도 있음
np.linalg.norm(c-d)

17.320508075688775

행렬(Matrix)

벡터는 하나의 차원이 축을 가져서 1차원 배열로 표시했지만 행렬은 두 개의 축인 차원을 가짐
- 이 차원의 수평 방향을 행(row), 수직 방향을 열(column)이라고 함
보통 선형대수는 대괄호 내에 행과 열의 인덱스 위치에 숫자를 나열해서 표시
행렬을 부를 때는 보통 m개 행, n개 열로 이루어져서 m x n 행렬이라고 함

a = np.array([[43], [44]])

a

array([[43],
       [44]])

type(a)

numpy.ndarray

# a 변수에 저장된 것도 하나의 배열이므로 하나의 자료형을 가짐
a.dtype

dtype('int32')

# 배열의 차원 확인
a.ndim

a.shape

(2, 1)

# np.full(형상, 채워질 값, 자료형) : 다차원 배열의 원소의 값을 동일하게 채움
b = np.full((3, 4), 7, "int64")
b

array([[7, 7, 7, 7],
       [7, 7, 7, 7],
       [7, 7, 7, 7]], dtype=int64)

2차원을 1차원으로 축소

x = np.array([[1, 4, 5],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
x

array([[1, 4, 5],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

# flatten() : 1차원 배열을 반환. 배열의 복사본을 반환
x.flatten()

array([1, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

x

array([[1, 4, 5],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

# ravel() : 1차원 배열을 반환. 원본 배열의 뷰를 제공
x.ravel()

array([1, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

x

array([[1, 4, 5],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

# flatten() 은 원본 배열에는 영향을 미치지 않음
np.may_share_memory(x.flatten(), x)

False

# ravel()은 원본 배열에 영향을 미칠 수 있음
np.may_share_memory(x.ravel(), x)

True

행렬의 종류

정사각행렬(Square Matrix)

동일한 행과 열을 가져서 n x n 행렬인 경우를 정사각행렬이라고 함
정사각행렬의 차수(order)가 n이면 n차 정사각행렬이라고 부름

행렬의 궤적(Trace)

정사각행렬은 가장 일반적인 행렬
정사각행렬의 행과 열의 동일한 인덱스에 있는 원소들은 대각선상에 위치함
이 대각선상의 원소들의 합을 행렬의 궤적(Trace)이라고 부름
행렬의 궤적은 정사각행렬의 전치를 사용해도 대각선의 원소는 변하지 않아 궤적의 합이 항상 동일

a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
a

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

a.shape

(3, 3)

# np.trace() : 행렬의 궤적을 계산
np.trace(a)

a.trace()

대각행렬(Diagonal Matrix)

정사각행렬일 때 대각선의 원소(인덱스가 같은값)를 제외한 모든 원소가 0으로 구성되는 행렬을 대각행렬 이라고 함

b = np.array([[1, 0, 0],
[0, 3, 0],
[0, 0, 5]])
b

array([[1, 0, 0],
       [0, 3, 0],
       [0, 0, 5]])

# np.diagonal() : 대각선의 원소만 추출
b.diagonal()

array([1, 3, 5])

np.diagonal(b)

array([1, 3, 5])

대각행렬의 위치(diag)

대각행렬은 행과 열의 인덱스가 같을 때 대각선의 원소에 값을 넣어서 만드는데, 이 대각선을 주 대각선이라고 함
주 대각선 이외의 대각선의 위치는 주 대각선을 기준0으로 하고 상위는 양수로, 하위는 음수로 표시

# np.diag(1차원배열, 대각선의 위치) : 대각행렬 생성
# 1차원 배열을 대각선에 위치시킨 후, 행렬의 나머지는 0으로 채움
c = np.diag(np.arange(1, 4))
c

array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])

# 주 대각선보다 한칸 위에 대각선을 구성
d = np.diag(np.arange(1, 4), k = 1)
d

array([[0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 2, 0],
       [0, 0, 0, 3],
       [0, 0, 0, 0]])

# 주 대각선보다 한칸 아래에 대각선을 구성
e = np.diag(np.arange(1, 4), k = -1)
e

array([[0, 0, 0, 0],
       [1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 0]])

단위행렬(Unit Matrix)

대각행렬 중에 주 대각선의 원소가 모두 1인 행렬을 단위행렬이라고 부름
임의의 수에 1을 곱하면 임의의 수에 변화가 없는 것처럼 행렬에 다른 행렬곱을 수행해도 항상 동일한 행렬을 반환하는 행렬임
보통 단위 행렬은 대문자 I로 표시

# np.eye(행의 개수, 열의 개수) : 단위 행렬 만들기
h = np.eye(3, 3)
h

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

# np.eye() 메서드는 대각선의 위치를 조정할 수 있도록 매개변수 k를 제공
i = np.eye(3, 3, k = 1)
i

array([[0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.],
       [0., 0., 0.]])

항등행렬(Identity Matrix)

단위행렬은 항등행렬 이라고도 부름

# 단위행렬을 만들어주는 함수
I = np.identity(3)
I

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

# 항등행렬을 다른 배열과 곱하면 배열의 값은 변경되지 않음
s = np.arange(1, 10).reshape(3, 3)
s

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

s @ I

array([[1., 2., 3.],
       [4., 5., 6.],
       [7., 8., 9.]])

삼각행렬

정사각행렬에서 주 대각선을 기준으로 위나 아래의 원소의 값이 전부 0이고 나머지 부분에는 값이 들어있는 행렬을 삼각행렬(Triangular Matrix)라고 함
삼각행렬은 주 대각선을 기준으로 원소의 값이 들어간 위치에 따라 이름을 다르게 부여함
- 대각선 위 부분만 0이 아닌 원소로 구성하면 상삼각행렬(Upper triangular matrix)
- 주 대각선 아래 부분만 0이 아닌 원소로 구성하면 하삼각행렬(Lower triangular matrix)

a = np.arange(1, 10).reshape(3, 3)
a

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])

# np.tril(): 만들어진 행렬을 인자로 전달하면 하삼각행렬을 반환
np.tril(a)

array([[1, 0, 0],
       [4, 5, 0],
       [7, 8, 9]])

# np.tril()의 매개변수 k에 대각선의 위치를 이동하는 것도 가능
np.tril(a, k = -1)

array([[0, 0, 0],
       [4, 0, 0],
       [7, 8, 0]])

# np.triu(): 만들어진 행렬을 인자로 전달하면 상삼각행렬을 반환
np.triu(a)

array([[1, 2, 3],
       [0, 5, 6],
       [0, 0, 9]])

np.triu(a, k = 1)

array([[0, 2, 3],
       [0, 0, 6],
       [0, 0, 0]])

삼각행렬의 전치관계

삼각행렬의 전치관계는 하삼각행렬은 상삼각행렬로, 상삼각행렬은 하삼각행렬로 변함

b = np.triu(a)
b

array([[1, 2, 3],
       [0, 5, 6],
       [0, 0, 9]])

b.T

array([[1, 0, 0],
       [2, 5, 0],
       [3, 6, 9]])

c = np.tril(a)
c

array([[1, 0, 0],
       [4, 5, 0],
       [7, 8, 9]])

c.T

array([[1, 4, 7],
       [0, 5, 8],
       [0, 0, 9]])

상삼각행렬과 하삼각행렬의 동일 인덱스 요소의 곱은 주 대각선만 곱한 결과임

b * c

array([[ 1,  0,  0],
       [ 0, 25,  0],
       [ 0,  0, 81]])

대칭행렬(symmetric matrix)

주 대각선을 기준으로 아래의 원소와 위의 원소가 동일한 값을 가진 행렬
- 대칭행렬을 가지고 전치행렬을 만들어도 동일한 형태를 유지함
따라서 대칭행렬의 원소 간의 관계를 수식으로 표현하면 (aij)=(aji)

$(a_{ij}) = (a_{ji})$ (lateX(레이텍)으로 표시)

# 대칭행렬
x = np.array([[1, 2, 3],
[2, 3, 5],
[3, 5, 6]])
x

array([[1, 2, 3],
       [2, 3, 5],
       [3, 5, 6]])

# 대칭행렬의 전치행렬을 확인해도 동일함
x.T

array([[1, 2, 3],
       [2, 3, 5],
       [3, 5, 6]])

대칭 행렬과 해당 행렬의 전치행렬을 더하면 원소들의 값이 두 배로 변하지만 항상 대칭행렬임
@ 연산을 해도 대칭행렬

x + x.T

array([[ 2,  4,  6],
       [ 4,  6, 10],
       [ 6, 10, 12]])

x @ x.T

array([[14, 23, 31],
       [23, 38, 51],
       [31, 51, 70]])

반 대칭행렬(Skew Symmetric Matrix)

주대각 성분을 기준으로 값은 같지만 부호가 반대의 원소를 가진 행렬
이 행렬과 전치행렬 간의 덧셈을 하면 전체 값이 0이 나옴
- 원소들이 대칭이지만 부호가 반대이므로 동일한 값을 빼는 것과 같음

y = np.array([[0, 2, -3],
[-2, 0, 5],
[3, -5, 0]])
y

array([[ 0,  2, -3],
       [-2,  0,  5],
       [ 3, -5,  0]])

y + y.T

array([[0, 0, 0],
       [0, 0, 0],
       [0, 0, 0]])

# 전치행렬과 원 행렬에 부호를 변경하면 모든 원소는 동일한 값임
y.T == -y

array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])

# 반 대칭행렬과 이 행렬의 전치행렬 간의 뺄셈을 계산하면 반 대칭행렬을 그대로 유지함
y - y.T

array([[  0,   4,  -6],
       [ -4,   0,  10],
       [  6, -10,   0]])

# 반 대칭행렬과 이 행렬의 전치행렬을 행렬곱 연산으로 계산하면 대칭행렬로 변경됨
y @ y.T

array([[ 13, -15, -10],
       [-15,  29,  -6],
       [-10,  -6,  34]])

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